Achilles und die Schildkröte

Ein antikes Problem der Mathematik

Achilles und die Schildkröte

Das Problem:

Achilles ist ein mutiger Wettläufer. Sich seines Sieges sicher, tritt er einen Wettlauf gegen eine Schildkröte an. Er gewährt ihr einen Vorsprung und sie läuft los. Doch der griechische Philosoph Zenon von Elea (495 - 430 v. Chr.) bricht das Wettrennen ab. Er meint Achilles sei leichtsinnig; er könne die Schildkröte gar nicht einholen. Er argumentiert wie folgt:

Formulierung 1

„Wenn Achilles losläuft, ist die Schildkröte etwas weiter vorne (wegen des Vorsprungs). Bis Achilles diesen Vorsprung aufgeholt hat, ist die Schildkröte wiederum ein Stück weiter. Bis Achilles diesen Vorsprung aufgeholt hat, ist die Schildkröte wiederum ein Stück weiter.
Wenn er sie jetzt weiterhin zu erreichen versucht, wird der Vorsprung zwar immer kleiner, aber trotzdem bleibt die Schildkröte vorne, da Achilles ständig damit beschäftigt bleibt die alte Position der Schildkröte einzuholen. Aufgrund dieser Tatsache kann Achilles die Schildkröte nie einholen.“

Formulierung 2

„Achilles muss den Vorsprung der Schildkröte aufholen, bevor er sie überholen kann. Bis Achilles jedoch diesen Vorsprung der Schildkröte aufgeholt hat, hat die Schildkröte jedoch wieder einen neuen Vorsprung gewonnen. Es mag logisch klingen, dass die Vorsprünge der Schildkröte immer kleiner werden (aufgrund der kleineren Geschwindigkeit). Trotzdem wird immer ein Vorsprung bestehen und deshalb kann Achilles die Schildkröte niemals aufholen“

Graphische Darstellung

Achilles - Funktion Achilles - Funktion mit Vorsprüngen Achilles - Funktion gezoomt

Im linken Bild sehen wir eine Weg-Zeit-Funktion. Achilles (blaue Linie) befindet sich zum Zeitpunkt 0 an der Position 0. Die Schildkröte (rote Linie) befindet sich bereits ein Stück voraus; dem Vorsprung. Die Schildkröte läuft langsamer als der Achilles. Deshalb sehen wir auf der Graphik einen genauen Schnittpunkt der beiden Graphen. Wenn wir jetzt das mittlere Bild betrachten, dann sehen wir wie Zenon argumentiert. Die linkeste gelbe horizontale Linie entspricht der Zeit, die Achilles benötigt, um den ersten Vorsprung der Schildkröte aufzuholen. Zu diesem Zeitpunkt ist die Schildkröte bereits ein Stück weiter (linkeste vertikale Linie). Dann ergibt sich wieder die selbe Situation. Achilles benötigt Zeit (2. horizontale Linie), um die Schildkröte aufzuholen. Zu diesem Zeitpunkt ist die Schildkröte wieder ein Stück weiter (2. vertikale Linie). Das setzt sich ewig fort. In der 3. Abbildung haben wir die Funktion etwas näher betrachtet. Dies könnte man an jeder Stelle machen; es ergibt sich immer dieses Bild. Auch wenn der Vorsprung kleiner ist: Er existiert. Und deshalb kann Achilles die Schildkröte gar nicht überholen.

Lösung

Zenon vergisst, dass auch eine unendliche Reihe eine endliche Summe hat. Wenn man alle Vorsprünge zusammenzählt, dann erhält man einen endlichen Wert und nach diesem Wert überholt Achilles die Schildkröte. Die graphische Darstellung ist nicht aussagekräftig, weil unendliche viele Striche auch eine endliche Gesamtlänge haben. Die Tatsache, dass unendliche Reihen endliche Summen haben, bereitete schon den antiken Mathematikern Kopfzerbrechen.

Des Weiteren ist es willkürlich diese Differenzen im Vorsprung ständig feiner zu betrachten; es hat keine Auswirkung auf die echte Zeitachse.

Ganz korrekt ist die Aussage aber auch nicht, dass eine unendliche Reihe eine endliche Summe hat. In Wirklichkeit konvergiert die unendliche Reihe gegen einen Grenzwert. Diesen endlichen (Grenz)wert erreicht die Summe nie, aber er beschreibt eine obere Grenze für die Summe. Die ursprüngliche Aussage ist damit auch nicht ganz exakt.

Relevante Links

Wikipedia-Artikel (Letzter Zugriff: 1. Juni 2013)
Matheplanet.com (Letzter Zugriff: 1. Juni 2013)
„Zeno's Paradoxes“ [EN] in the „Stanford Encyclopedia of Philosophy“ (Letzter Zugriff: 1. Juni 2013)

Literatur

„Mathematik verstehen 6“ von Malle, Ramharter, Ulovec, Kandl (Auflage von 2006, Seite 147)