\documentclass[11pt,a4paper]{report} \usepackage{ngerman} \usepackage{fullpage} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{multicol} \usepackage[sf]{titlesec} \usepackage[dvips,pdftex]{geometry} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{graphicx} \usepackage{pstricks} \usepackage{pst-node} \usepackage{pst-plot} \usepackage{boxedminipage} \usepackage{booktabs} \usepackage{bibgerm} \usepackage[sf]{titlesec} \pagenumbering{arabic} % Alph, alph, arabic, Roman, roman \pagestyle{myheadings} % not in combination wird scr \setcounter{tocdepth}{4} \parindent0mm \parskip2mm %\topmargin25mm \headheight10mm \headsep10mm \markright{AHS Stoff Mathematik} \setlength{\unitlength}{1cm} % COMMANDS \newcommand{\degree}{$^\circ$} \author{Lukas Prokop} \title{Zusammenfassung Mathematik AHS Oberstufe} \date{\today} % Feb 09 % \thanks{Prof. Theresia Egger} % \begin{quote} % \end{quote} \begin{document} \maketitle \tableofcontents \chapter{Grundlagen} \section{Geometrische Figuren} \section{Zahlensysteme} \section{Prozentrechnung} \section{Winkelfunktionen} \section{Arbeit mit dem Taschenrechner} \section{Gleichungen l"osen} \section{Gleichungssysteme l"osen} \section{Koordinatensystem und Polarkoordinaten} \chapter{Reihen und Folgen} Wir betrachten eine Folge von Zahlen (zB [1,2,3,4,...]). Wir betrachten ihre Summen. Es ist m"oglich, dass sie gegen eine Zahl konvergiert. Sie h"atte daher einen Grenzwert; einen Wert der endlich gro"s ist, wobei die Folge selbst unendlich lang ist. Die Folge [1,2,3,4,...] konvergiert nicht. Mit jeder Zahl wird sie gr"o"ser und deshalb n"ahert sie sich keinem Wert an. Die Folge [1, 0.5, 0.125, 0.0625, ...] jedoch schon. Das erste Element (1) f"ullt die Summe bereits mit dem Wert 1 auf. Die Summe von 0.5 und 0.125 liegt auch noch ein bisschen unter 1. Auch der 4. Wert zuaddiert, "andert nichts. Es scheint also so zu sein, dass die Summe aller Zahlen "uber eins liegt, aber trotzdem nie die 2 erreicht. Sie konvergiert. Formell beschrieben lautet die Folge: $$ f_{(x)} = \frac{1}{2^x} $$ Am Graphen ist die Ann"aherung sehr sch"on zu sehen: % 2/x -> 1/2**x \begin{figure}[!ht] \centering \fbox{ \includegraphics[width=5cm]{2_durch_x.jpg} } \end{figure} Wir m"ussen nun dieses Verhalten noch n"aher beschreiben, damit wir seine Summe ausrechnen k"onnen. Wir k"onnen versuchen das n-te Glied irgendwie herzuleiten. Es "andert sich eigentlich nur der Exponent. Alles andere ist konstant. Also setzen wir einfach f"ur die Unbekannte $n$ ($n \in \mathbb{N}$) ein und erhalten die Formel, die wir bereits kennen. Dies ist die explizite Darstellung. $$ f_{(n)} = \frac{1}{2^n} $$ Und des Weiteren handelt es sich um eine geometrische Reihe, da wir eine Funktion der Form $b_n = c\cdot{q^n}$ haben. Wir definieren f"ur diese Funktion: $$ c = 1 $$ $$ q = 1/2 $$ Wir k"onnen die Funktion auch beschreiben, indem wir von einem Wert ausgehen und die "Anderung zum n"achsten Wert beschreiben. Dann erhalten wir die rekursive Darstellung (b ist vielleicht eine sch"one Variable f"ur eine Funktion, wenn wir "uber Folgen \& Reihen sprechen). $$ b_{(n+1)} = b_n\cdot{q} $$ $$ b_{(n+1)} = b_n\cdot{\frac{1}{2}} $$ % TODO: overview geometr. arithm. rekurs. expliz. \section{Logarithmus} Der Logarithmus ist eigentlich eine andere Schreibweise f"ur eine Exponentialgleichung. Aber seine Rechenregeln k"onnen wir uns zunutze machen, um Aufgaben zu l"osen. \begin{quote} Ermittle den Exponenten $x$, der die Gleichung $10^x = 100$ erf"ullt \end{quote} Es liegt nahe, dass die L"osung 2 lautet, da $10^2 = 100$, aber wie man das mit dem Logarithmus anschreibt und wie man dies ermittelt, m"ochten wir jetzt anschauen. Zuvor ein paar Definitionen: $$ 2^x = 16 \Rightarrow x = 4 $$ $$ \log_2(16) = 4 $$ $$ \log_{10}(100) = \log(100) = 2 $$ $$ \log_n{1} = 0 $$ % TODO: overview: base10-log basee-ln \subsection{Umkehrfunktion} Die Umkehrfunktion vom Logarithmus ist die e-Funktion. Eine Aufgabe w"are zB, dass du wei"st, dass $w = \ln{s}$ gilt. Dir ist $w$ bekannt, aber du m"ochtest $s$ herausfinden. Du wei"st, dass ein Logarithmus (zB $\ln{1}$) eine andere Schreibweise f"ur $$ e^x = 1 $$ ist (e ist die Eulersche Zahl). Bei der Aufgabe ist $x$ bekannt, aber die $1$ kennst du nicht. Also musst du rechnen (die Taschenrechner haben meist sogar eine eigene Taste f"ur $e^x$). $$ e^w = s $$ \subsection{Eulersche Zahl} \chapter{Funktionen} \section{Wachstum} \chapter{Vektoren in $\mathbb{R}^2$ und $\mathbb{R}^3$ } \chapter{Beschreibende Statistik} \chapter{Trigonometrie} \chapter{Kurvendiskussion} \chapter{Extremwertbeispiele} \chapter{Differentialgleichung} \chapter{Stammfunktionen und Integralrechnung} \chapter{Analytik} \chapter{Beschreibende Statistik} Die beschreibende Statistik versucht eine \"Ubersicht \"uber Daten zu schaffen. Sie erfasst und wertet Daten aus. Man geht dabei von einer \textit{Urliste} aus. Als Beispiel seien die Messungen der Verkehrspolizei in einem Dorfgebiet zu nennen. Die Angaben sind gerundete Werte der Geschwindigkeit (in kmh$^{-1}$). \begin{center} \fbox{70 30 70 50 100 70 100 50 30 50 100 70 50 30 50 50 30 70 50 70} \end{center} Wir k\"onnen diese Urliste auch ordnen und nach Werten gruppieren: \begin{table}[!ht] \begin{center} \begin{tabular}{|l|c c c c|} \hline Wert (Geschwindigkeit)& 30 & 50 & 70 & 100 \\ absolute H\"aufigkeit & 4 & 7 & 6 & 3 \\ relative H\"aufigkeit & $\frac{1}{5}$ & $\frac{7}{20}$ & $\frac{3}{10}$ & $\frac{3}{20}$ \\ prozentuelle H\"auf. & 20\% & 35\% & 30\% & 15\% \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{table} Wir kennen hier bereits einige Vokabel. Die absolute H\"aufigkeit beschreibt die Anzahl der Vorkommen eines Wertes in der Urliste. Die relative H\"aufigkeit ist die absolute H\"aufigkeit relativ zur Gesamtzahl. Bei uns ist die Gesamtzahl der Elements gleich 20. Der Wert 30 kommt 4mal in der Urliste vor. Die relative H\"aufigkeit des Wertes 30 betr\"agt also $\frac{4}{20}$ bzw. $\frac{1}{5}$. Die prozentuelle H\"aufigkeit ist die relative H\"aufigkeit in Prozent ausgedr\"uckt (also relative H. mal $100$). Die Summe aller prozentuellen bzw. relativen H\"aufigkeiten betr\"agt nat\"urlich 100\% bzw. 1. \begin{table}[!ht] \begin{center} \begin{tabular}{|l | c|} \hline Arithmetisches Mittel & 59.5 \\ Median & 50 \\ Modus & 50 \\ Quartillen & 50, 50, 70 \\ Quartilabstand & 20 \\ Spannweite & 70 \\ Minimum & 30 \\ Maximum & 100 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{table} Ok\ldots was haben wir hier? Das arithmetische Mittel ist noch unter den Namen Mittelwert und Durchschnitt bekannt. Wir nehmen die Summe aller Werte und dividieren sie durch ihre Anzahl. $$\frac{30{\cdot}4 + 50{\cdot}7 + 70{\cdot}6 +100{\cdot}3}{20} = 59.5$$ Unter dem Median (auch Zentralwert genannt) versteht man jenen Wert, der sich in der geordneten Urliste genau in der Mitte befindet. Der Modus bezeichnet den Wert mit dem h\"aufigsten Vorkommen. Da der Wert 50 7mal in unserer Liste vorkommt, ist er der Modus. Die Quartillen entstehen, wenn wir die Urliste ordnen und in 4 (Quart = 4) Teile teilen. Da unsere Liste eine gerade Anzahl von Elementen besitzt, gibt es keine Wert, der sich in der Mitte befindet. In diesem Fall berechnet man den Mittelwert der beiden Zahlen, die sich neben dieser Mitte befinden. Das hei"st in unserer geordneten Urliste befindet sich als 9. Element die Zahl 50 und als 10. Element die Zahl 50. Der Mittelwert von 50 und 50 ist 50. An der 5. Position befindet sich ebenso eine 50 und an der 6. Position aus. Dann betrachten wir genauso die 15. und 16. Position. Wir erhalten drei Werte ($q_1$, $q_2$, $q_3$), die die die Urliste in 4 Teile teilt. Der Quartilabstand ergibt sich aus $q_3 - q_1$. Die Spannweite ist die Differenz des kleinsten vom gr\"o"sten Wert. Ein Wert wurde hier nicht besprochen: der Ausrei"ser. Unter einem Ausrei"ser versteht man einen Wert, der sich wesentlich von der Gr\"o"se der restlichen Werte abhebt. Er erh\"oht normalerweise den Mittelwert so enorm, dass dieser \"uber dem gr\"o"sten Wert der restlichen Werte liegt. Beziehungsweise ist dies nat\"urlich auch umgekehrt sein (ein Ausrei"ser kann auch ein wahnsinnig kleiner Wert sein). Minimum und Maximum bezeichnen den kleinsten und gr\"o"sten Wert der Urliste. \begin{table}[!ht] \begin{center} \begin{tabular}{|l|c|} \hline geometrisches Mittel & 3.06 \\ harmonisches Mittel & 51.41 \\ empirische Varianz & 305.91 \\ %914 empirische Standardabweichung & 17.49 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{table} Die meisten dieser Werte erkl\"aren sich selbst durch ihre Formel. Um das geometrische Mittel zu berechnen gilt: $$ m_g = \sqrt[n]{x_1{\cdot}x_2{\cdot}\ldots{\cdot}x_n} = \sqrt[20]{4{\cdot}30{\cdot}7{\cdot}50\ldots3{\cdot}100} \approx 3.06 $$ Das harmonische Mittel: $$ m_h = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n}} = \frac{20}{\frac{4}{30} + \frac{7}{50} + \frac{6}{70} + \frac{3}{100}} \approx 51.41 $$ Die empirische Standardabweichung hat es zum Ziel die Abweichung der Werte vom Mittelwert zu dokumentieren. Es nimmt also alle Werte minus dem Mittelwert. Damit negative Werte die Abweichung nicht st\"oren, wird quadriert. Die Summe all dieser Werte wird durch die Anzahl der Werte dividiert. Dies ist die empirische Varianz. Die empirische Standardabweichung ist die Wurzel davon. $$ \sigma^2 = \frac{(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + \ldots + (x_n - \overline{x})^2}{n} $$ $$ \sigma^2 = \frac{4{\cdots}(30 - 59.5)^2 + 7{\cdots}(50 - 59.5)^2 + 6{\cdots}(70 - 59.5)^2 + 3{\cdots}(100 - 59.5)^2}{20} \approx 305.91 $$ % TODO: Graphiken Es gibt nun verschiedene Ans\"atze diese Daten darzustellen. Zuerst muss man festhalten, dass es sich um eindimensionale Werte handelt. Die Werte bestehen also nur aus einer Zahl (nicht aus zweien wie bei Vektoren oder \"Ahnlichem). Ich m\"ochte hier kurz vier Darstellungen ansprechen: \begin{itemize} \item Kastenschaubild \item Histogramm \item Kreisdiagramm \item St\"angelblatt-Diagramm \item Klassen \end{itemize} Beim Kastenschaubild handelt es sich um die einfachste Form. Auf einer Zahlengerade werden die Werte mit Punkten markiert. So werden klar, wo die meisten Werte liegen und nebenbei kann man auch $q_{1,2,3}$ eintragen. Beim Histogramm zeichnen wir ein Koordinatensystem. Auf der y-Achse schreiben wir die H\"aufigkeiten der Werte auf. Die x-Achse teilen wir in regelm\"a"sige Intervalle (f\"ur jeden Wert ein Intervall). Beim Kreisdiagramm zeichnen wir einen Kreis, der 100\% darstellt. Jede H\"aufigkeit rechnen wir in die 360\degree um und tragen sie dann auf dem Kreis ein. Jeder H\"aufigkeit geh\"ort ein Tortenst\"uck. F\"ur das St\"angel-Blatt-Diagramm teilen wir eine Tabelle in zwei Spalten (St\"angel, Bl\"atter). In der ersten Spalte (Stamm) notieren wir jeden Wert. In der zweiten Spalte (Blatt) notieren wir die zugeh\"orige absolute H\"aufigkeit. In der F\"unfzahlenzusammenfassung werden f\"unf Werte unter ein \textit{Dach} geschrieben. Neben den f\"unf Zahlen kann man auch noch den Quartillenabstand (2. Zeile) ablesen bzw. errechnen und die Spannweite (3. Zeile). \linethickness{0.1mm} \begin{figure}[!ht] % htbp \centering \begin{picture}(6,4) \put(1,1){\line(0,1){2}} \put(1,3){\line(1,0){4}} \put(5,3){\line(0,-1){2}} \put(2.9,2.6){\text{$q_2$}} \put(1.3,2){\text{$q_1$}} \put(4.5,2){\text{$q_3$}} \put(1.3,1.2){\text{min}} \put(4.1,1.2){\text{max}} \end{picture} \caption{F\"unfzahlenzusammenfassung} \end{figure} Sprechen wir von mehrdimensionalen Werten, dann sind auch noch die Begriffe Passgerade (unexakte Linie in der N\"ahe der Durchschnittswerte) und Punktwolke (Bereich mit den meisten Werten) relevant. Graphiken fehlen an dieser Stelle leider. \chapter{Wahrscheinlichkeitsrechnung} Bei der Wahrscheinlichkeit handelt es sich um eine reele Zahl zwischen 1 und 0. Sie versucht Aussagen zu treffen, ob und wann ein Ereignis eintreffen wird. Wobei sich die Wahrscheinlichkeitsrechnung in unserem Alltag nur schwer anwenden l"asst, so gibt es zahlreiche analoge Beispiele, die uns die Theorie hinter Wahrscheinlichkeiten verstehen l"asst. \begin{itemize} \item \textbf{M"unze:} Eine M"unze hat zwei Seiten. Daraus ergibt sich eine 50:50-Chance f"ur jede der beiden Seiten \item \textbf{W"urfel:} Ein W"urfel hat sechs Seiten und eignet sich ideal f"ur bedingte Wahrscheinlichkeit \item \textbf{Urne:} Aus einer Urne kann man B"alle entnehmmen dessen Farbe man vorher noch nicht kennt \item \textbf{Gl"ucksrad:} Beim Gl"ucksrad handelt es sich um eine drehbare Scheibe, deren Fl"ache in farbige Sektoren geteilt ist. Je nachdem auf welche Fl"ache ein Zeiger zeigt ist der Gewinn zu ermitteln \item \textbf{Roulette:} Das Roulette ist mit den Nummern 0 bis 36 versehen und kann sich horizontal am Tisch drehen. \end{itemize} Grundlegend handelt es sich bei der Wahrscheinlichkeit um ein Verh"altnis: $$ \text{Wahrscheinlichkeit} = \frac{\text{Anzahl der g\"unstigen F\"alle}} {\text{Anzahl der m\"oglichen F\"alle}} $$ \chapter{Kombinatorik} \chapter{Schaltalgebra} \chapter{Anhang} \appendix % ? \section{Glossar} % ? \section{Wichtige Mathematiker} \section{Dank} Als Erinnerung an unsere gemeinsamen Mathematik-Jahre \\ written with \LaTeXe \\ \copyright\ Lukas Prokop 2009 %\section{Literaturverzeichnis} \begin{thebibliography}{1} \bibitem{sb1} Malle, Ramharter, Ulovec, Kandl -- Mathematik verstehen 5 \bibitem{sb2} Malle, Ramharter, Ulovec, Kandl -- Mathematik verstehen 6 \bibitem{sb3} Malle, Ramharter, Ulovec, Kandl -- Mathematik verstehen 7 \bibitem{sb4} Malle, Ramharter, Ulovec, Kandl -- Mathematik verstehen 8 \bibitem{mathcast} mathcast.org \bibitem{wiki} http://de.wikipedia.org/wiki/Portal:Mathematik \end{thebibliography} \end{document}