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\markright{Komplexe Zahlen -- Spezialgebiet Mathematik}

\author{Lukas Prokop}
\title{Spezialthema Komplexe Zahlen \\-- Fragen}
\date{31. Mai 2009}


\begin{document}
\fontsize{12pt}{14pt}
\selectfont
\input{maketitle.tex}
%\tableofcontents

% (c) egger
% done
\section{Was ist eine Komplexe Zahl und wie hat sie sich geschichtlich entwickelt?}

L\"osung von Gleichungen wie $x^2 + 1 = 0$, definiert durch $i^2 = -1$, Realteil und
Imagin\"arteil, Cardano, Bombelli, Vieta, Euler, Gau"s

% (c) egger
% done
\section{Gib Gr\"unde f\"ur die Anerkennung der Komplexen Zahlen als Zahlen an}

\begin{enumerate}
  \item analoge Arithmetik
  \item L\"osung von Gleichungen (algebraische Abgeschlossenheit)
  \item Darstellung auf Gau"sscher Zahlenebene
  \item Zusammenhang zwischen trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion
\end{enumerate}

% (c) egger
% done
\section{Wie kann eine Komplexe Zahl dargestellt werden}

Entweder binomial ($a + bi$ mit $a,b \in \mathbb{R}$) oder polar (Winkel und Betrag).
Wenn polar, dann trigonometrische Form, Exponentialform oder Versorform

% (c) egger
% done
\section{Gibt es inverse Werte?}

F\"ur zwei Elemente $a, b$ einer Menge $M$ muss gelten ($a, b \in M$):
\begin{equation}
  a + b = 0
\end{equation}
\begin{equation}
  a {\cdot} b = 1
\end{equation}
(1) $b$ ist das das additiv inverse Element von a \\
(2) $b$ ist ein das multiplikativ inverse Element von a

F\"ur komplexe Zahlen gilt ($a, b \in \mathbb{R}; z \in \mathbb{C}$):
$$ z + (-1){\cdot}z = 0 $$
\begin{equation}
  (a + bi) + (-a - bi) = 0
\end{equation}
$$ z {\cdot} z^{-1} = 1 $$
$$ (a + bi){\cdot}(\frac{a}{a^2 + b^2} - i{\cdot}\frac{b}{a^2 + b^2}) = 1 $$
$$ 
	\frac{a^2}{a^2 + b^2} + \frac{abi}{a^2 + b^2} - 
	\frac{abi}{a^2 + b^2} - \frac{b^2i^2}{a^2 + b^2} = 1
$$
$$ \frac{a^2}{a^2 + b^2} + \frac{b^2}{a^2 + b^2} = 1 $$
$$ \frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2} = 1 $$
\begin{equation}
  z^{-1} = \frac{a}{a^2 + b^2} - i{\cdot}\frac{b}{a^2 + b^2}
\end{equation}
(3) das additiv inverse Element von $z$ ist $-z$ (inverser Imagin"ar- und Realteil) \\
(4) das multiplikativ inverse Element von $z$ ist $z^{-1}$ (siehe 4. Satz)

% (c) egger
% done
\section{Gibt es neutrale Werte?}

F\"ur zwei Elemente $a, b$ einer Menge M muss gelten ($a, b \in M$):
\begin{equation}
  a {\cdot} b = a 
\end{equation}
(5) b ist ein neutraler Wert

F\"ur Komplexe Zahlen gilt ($z \in \mathbb{Z}$):
\begin{equation}
  z {\cdot} 1 = z
\end{equation}
(6) die Komplexen Zahlen verwenden das selbe neutrale Element wie die 
    nat"urlichen, ganzen und (ir)rationalen Zahlen. Bedenke das gilt:
    $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$

% (c) prokop
% done
\section{Erkl\"are die verschiedenen Begriffe und gehe auf die imagin\"are Einheit n\"aher ein}

Imagin\"are Einheit definiert als $i = \sqrt{-1}$, Zahl der Struktur $b{\cdot}i$ mit 
$b \in \mathbb{R}$ ist eine ''imagin\"are Zahl'', Zahl der Struktur $a + b{\cdot}i$
mit $a, b \in \mathbb{R}$ ist eine ''Komplexe Zahl'', Variable $i$ wird in 
Elektrotechnik mit $j$ angeschrieben (wegen Stromst\"arke $i$), Komplexe Zahl aber
auch \"uber Polarkoordinaten darstellbar (mit Winkel $\varphi$ und Betrag $|z|$),
Gau"ssche Zahlenebene besteht aus zwei Achsen (waagrecht Realteil und senkrecht 
Imagin\"arteil), Komplexe Zahlen nicht auf Zahlenstrahl darstellbar, konjugiert
Komplexe einer Komplexen Zahl hat einen invertierten Imagin\"arteil, $cis \varphi$
ist Kurzform f\"ur $(\cos{\varphi} + i{\cdot}\sin{\varphi})$

% (c) prokop
% done
\section{Erkl\"are die Polarform von Komplexen Zahlen}

Auffassung, dass eine Zahl durch einen Winkel und eine L\"ange eindeutig identifizierbar
ist, eine Komplexe Zahl entspricht auf der Gau"sschen Zahlenebene einem Punkt, Punkt entweder
\"uber L\"angen auf Achsen ansprechbar (Binomialform) oder \"uber Einschlagwinkel und
die L\"ange. F\"ur die Umrechnung gilt:

$$ \tan{\varphi} = \frac{b}{a} $$
$$ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $$

% (c) egger
% done
\section{Erkl\"are den Zusammenhang zwischen der Polardarstellung von Komplexen 
  Zahlen und der kartesischen Binomialform}

Es besteht ein trigonometrischer Zusammenhang. Es l\"asst sich ein rechtwinkliges
Dreieck zwischen dem Punkt, der Realachse und der L\"ange $|z|$ im Winkel $\varphi$
aufspannend. F\"ur dieses Dreieck gelten die Definition des Tangens und der Satz 
des Pythagoras (siehe vorige Frage)

% (c) prokop
% done
\section{Welche Auswirkungen hat die imagin\"are Einheit auf die binomischen Formeln?}

Durch das Aufl\"osen von $i^2$ wird der 3. Summand vom restlichen Term abgezogen.
Zum Beispiel\ldots

$$ (a + bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2 $$

% (c) egger
% done
\section{Was versteht man unter der Eulerschen Identit\"at?}

Die Formel \ldots

$$ e^{i\varphi} = \cos{\varphi} + i{\cdot}\sin{\varphi} $$

F\"ur $\varphi = \pi$ gilt:

$$ e^{i\pi} + 1 = 0 $$

% (c) egger
% TODO
% http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/144928,0.html
\section{Begr\"unde die wohl interessanteste Formel der Welt: $e^{{\pi}i} + 1 = 0$}

$e^{{\pi}i} + 1 = 0$ ist ein Spezialfall von \ldots
$$ e^{i\varphi} = \cos{\varphi} + i{\cdot}\sin{\varphi} $$
unter der Bedingung $\varphi = \pi$ ($\pi$ entspricht als Radiant in Grad $180^\circ$). 
$$ e^{i\pi} = \cos{180^\circ} + i\sin{180^\circ} $$
$$ e^{i\pi} = -1 $$

Die Eulersche Identit\"at ist \"uber Taylorreihen und Konvergenzen herleitbar.

F\"ur $\sin{\varphi}$ und $\cos{\varphi}$ gilt (siehe Maclaurin-Reihe):
$$ 
	\sin{\varphi} = \frac{{\varphi}^1}{1!} - \frac{{\varphi}^3}{3!} + 
	\frac{{\varphi}^5}{5!} + \ldots 
$$
$$ 
	\cos{\varphi} = \frac{{\varphi}^0}{0!} - \frac{{\varphi}^2}{2!} + 
	\frac{{\varphi}^4}{4!} + \ldots 
$$

Ungerade und Gerade Zahlen lassen sich per Definition \"uber $2{\cdot}k (+ 1)$ darstellen:

$$ \sin{\varphi} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{\varphi^{2k+1}}{(2k + 1)!} $$
$$ \cos{\varphi} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{\varphi^{2k}}{(2k)!} $$

$$ 
	\frac{i{\cdot}\varphi^n}{n!} = \frac{i{\cdot}\varphi^{2k}}{2k!} + 
	\frac{i{\cdot}\varphi^{2k+1}}{(2k+1)!} = \frac{i{\cdot}\varphi^{2k}}{2k!} +
	\frac{i{\cdot}(i^{2k}{\cdot}\varphi^{2k+1})}{(2k + 1)!}
$$

%Nur f\"ur die geraden Zahlen ist das alternierende Vorzeichen f\"ur Eins von Bedeutung:
%F\"ur $e^{i\varphi}$ gilt:
%$$
%	e^{(i\varphi)^n} = e^{i{\varphi}n} = e^{i{\varphi}((2k) + (2k+1))} = 
%	e^{2ki{\varphi}}{\cdot}{e^{2ki{\varphi}+i{\varphi}}} $$
Restliche Herleitung fehlt\ldots

% (c) egger
% done
\section{Deute die Multiplikation einer komplexen Zahl mit einer reellen, 
	einer imagin\"aren, einer Komplexen Zahl geometrisch. 
	Leite daraus die Regel von Moivre her.}

Auf Notizzettel notiert.

\begin{description}
  \item[reelle Zahl] Der Zeiger wird um den Faktor (reelle Zahl) verl\"angert
  \item[imagin\"are Zahl] Der Winkel wird ver\"andert, die L\"ange des Zeigers nicht
  \item[Komplexe Zahl] trigonometrische Form, Additionstheoreme, Satz von de Moivre
\end{description}

% (c) prokop
% done
\section{Erkl\"are Logarithmus, Wurzeln und Potenzen in Bezug auf Komplexe Zahlen}

\begin{description}
  \item[Potenzen] Satz von de Moivre
  \item[Wurzeln] $\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}{\cdot}e^{i{\cdot}\frac{\varphi + 2k\pi}{n}} $
  \item[Logarithmus] mehrdeutig, Definition von Streifen, Hauptwert
\end{description}

% (c) egger
% done
\section{Welche Rechenoperationen sind im Bereich der Komplexen Zahlen definiert?}

Die meisten Rechenoperationen lassen sich von den reellen Zahlen auch auf die Komplexen
Zahlen \"ubertragen. Jedoch gestaltet es sich oft schwieriger und nicht immer w\"are
die Arbeit mit Komplexen Zahlen zielorientiert. Mir bekannt sind die folgenden 
Rechenoperationen mit Komplexen Zahlen:

\begin{itemize}
  \item Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division)
  \item Invertierung, Neutralisierung
  \item Logik (Junktoren/Boolsche Operationen; und, oder, nicht)
  \item Erweitert (Potenzen, Wurzeln, Logarithmen)
\end{itemize}

% (c) egger
% done
\section{Gelten alle Rechenregeln der reellen Zahlen auch im Komplexen Zahlbereich?}

Da die reellen Zahlen eine Untermenge der Komplexen Zahlen sind, gelten alle
Rechenregeln der reellen Zahlen in einem Teil des Komplexen Zahlenbereichs. Die
Frage w\"are konkreter: Gelten alle Rechenregeln der reelen Zahlen auch im
gesamten Komplexen Zahlenbereich?

Nein, zumindest funktionieren sie nicht immer analog, wie wir beim Logarithmus
gesehen haben.

% (c) egger
% done
\section{Wo finden Komplexe Zahlen Anwendung?}

\begin{description}
  \item[Mathematik] Verbindung von Trigonometrie und Exponentialfunktionen
    (siehe Fourier-Reihen), Funktionentheorie
  \item[Physik/Elektrotechnik] Darstellung der Wechselspannung als komplexe
    Gr\"o"se, dadurch einfachere Rechenwerkzeuge
\end{description}

% (c) prokop
% done
\section{Welche Rolle spielen Komplexe Zahlen in der Elektrotechnik?}

Zur Beschreibung von Wechselgr\"o"sen und Zeigern in Sinusschwingungen.
(siehe voriger Punkt bzw Kapitel 5.1)

% (c) egger
% done
\section{Gibt es eine Ordnung im Bereich der Komplexen Zahlen? Argumentiere.}

Wie schon erw\"ahnt: Nein. Als Argumentation beweist man gerne, 
dass weder $i > 0$ noch $i < 0$ gelten kann.

Wir nehmen an, dass $i > 0$ gilt.
$$ i > 0 $$
$$ i{\cdot}i > 0{\cdot}i $$
$$ -1 > 0 $$

Wir haben das Gegenteil bewiesen. Also nehmen wir einmal das Gegenteil 
($i < 0$) an:
$$ i < 0 $$
$$ i{\cdot}i \geq 1 $$
$$ -1 \geq 1 $$
In der dritte Zeile musste ich das Relationszeichen invertieren, da wir
angenommen haben, dass $i < 0$ ist und bei Ungleichung eine Division durch
eine negative Zahl dadurch passiert, dass man auch das Relationszeichen
invertiert.

Letztendlich kommen wir nicht drum herum zu sagen, dass wir die Gr\"o"se
der imagin\"aren Einheit nicht kennen. Damit haben Komplexen Zahlen keine
Ordnung.

\end{document}